Родился 21 сентября 1914 в деревне Судимирка, ныне Калининского района Тверской области, в семье рабочего. Детство и юность провёл в Угличе. Русский. Член ВКП(б) с 1941 года. В 1934 году окончил 2 курса Московского машиностроительного института. Работал токарем на 2-м Московском часовом заводе.
В Военно-Морском Флоте с 1934 года. В 1936 году окончил Ейскую школу морских лётчиков. Участвовал в Советско-финляндской войне 1939-40 годов.
Участник Великой Отечественной войны с июня 1941 года. Командир звена 24-го минно-торпедного авиаполка (5-я бомбардировочная авиабригада, ВВС Северного флота) капитан Баштырков к январю 1943 года совершил 107 боевых вылетов, из них 66 ночных.
Летал на бомбардировочные удары по аэродромам и базам противника в северной Норвегии и Финляндии, на подходе к Кольскому заливу торпедировал 2 немецкие подводные лодки, повредив их, метко сбросил торпеды на вражеские транспорты в Варапер-фьорде и Баренцевом море, не раз бомбил важные объекты противника в порте Киркенес. За неоднократно проявленную отвагу и находчивость Баштырков был награждён орденом Красной Звезды.
14 января 1943 года, на внешнем рейде порта Вардё (Северная Норвегия), преодолев плотный вражеский зенитный огонь, торпедоносец капитана Баштыркова метко поразил особо охраняемый транспорт противника и потопил его, но сам получил повреждение и загорелся. Отважный лётчик из последних сил довернул пылающий самолёт. Все, кто был на флагманском командном пункте, услышали последние слова командира: «Атакую второй транспорт. Прощайте, друзья!»
Ценой своей жизни экипаж, в составе: капитана Баштыркова А. А., сержанта Гаврилова Владимира Николаевича (выполнявшего обязанности штурмана), стрелка-радиста старшины Кузьмина Михаила Васильевича и воздушного стрелка краснофлотца Шпунтова Николая Артемьевича, потопили ещё несколько вражеских транспортов